Formule E et grandeurs physiques mécaniques


L’actualité immédiate me permet aujourd’hui d’établir un rapprochement entre deux événements totalement différents dans leur portée et leur importance, mais vous allez le voir, qui présentent la faculté a priori étrange d’être en mesure de s’éclairer l’un l’autre.

Le premier d’entre eux a une signification sur le plan mondial. Il pourrait éventuellement déclencher une évolution profonde de l’industrie automobile dans son ensemble, et influencer ainsi dans le futur toute l’économie mondiale. Cet événement a eu lieu le 13 septembre dernier à Pékin. Il s’agissait du premier Grand Prix de Formule E, une compétition automobile organisée par la Fédération Internationale Automobile (F.I.A), sur le modèle connu mondialement de la Formule 1. Comme la Formule 1, cette compétition  va opposer pendant toute une saison sportive et sur différents circuits tracés dans des métropoles prestigieuses de la planète (Pékin, Berlin, Monte-Carlo, Londres, Miami, Long Beach, Buenos-Aires, Punta del Este), des voitures de course préparées par des écuries parfois également prestigieuses (Mercedès, Ferrari, Lotus, MacLaren, etc. pour la Formule 1) et conduites par des pilotes qui deviennent parfois des stars. La seule différence avec la Formule 1 est que les voitures de course de Formule E sont mues par un moteur 100% électrique.

Le second événement aura lieu le 1er octobre prochain. Il est au contraire absolument insignifiant, sauf pour une vingtaine de personnes vivant à Vannes. Ce sera la rentrée pour les étudiants (des seniors) inscrits au cours « Découvrir la physique autrement » proposé par l’Université Tous Ages (U.T.A). Mais le premier cours de cet enseignement sera consacré au concept d’énergie, et ce faisant, à mettre au clair les questions de grandeurs physiques mécaniques, de leurs dimensions physiques, et des unités à employer pour quantifier ces grandeurs.

Quel rapport peut-il exister entre ces deux événements, aussi dissemblables l’un de l’autre qu’il est possible de l’imaginer ? Le premier est un événement de portée mondiale, et le second rien d’autre qu’un minuscule épiphénomène sans la moindre importance ? Il existe cependant un lien entre la monoplace révolutionnaire ci-dessous :

Ce prototype Spark-Renault SRT_01E a été construit à 40 exemplaires pour équiper les 10 écuries prenant part au championnat 2014-2015
Ce prototype Spark-Renault SRT_01E a été construit à 40 exemplaires
pour équiper les 10 écuries prenant part au championnat 2014-2015

et le sommaire ci-dessous du chapitre 2 du cours de physique de l’U.T.A :

Sommaire-énergie

Ce lien va devenir apparent si, à partir du simple tableau ci-dessous indiquant les caractéristiques essentielles des Formules E Spark-Renault SRT-01E :

Longueur (max) : 500 cm

Largeur (max) : 180 cm

Hauteur (max) : 125 cm

Poids total (min, avec pilote) : 800 kg

Accélération : 0 -100 km/h en 3 s

Vitesse max : 225 km/h (limite fixée par la F.I.A)

Puissance maximale : 200 kW

Mode économique : 133 kW (utilisé en course)

 

on cherche à répondre aux deux questions intéressantes suivantes :

  • A quelle valeur, exprimée en CV (l’unité de puissance communément adoptée dans le monde automobile), correspond la valeur de 200 kW donnée dans le tableau ci-dessus ?
  • Est-ce que l’on peut obtenir une estimation simple de la vitesse maximale envisageable pour une voiture de poids, de dimensions et de puissance indiquées dans le tableau ?

Le cours de rentrée qui sera dispensé le 1er octobre prochain aux étudiants en physique de l’U.T.A.Vannes permettra de répondre très exactement à ces deux questions.

D’abord, les chevaux-vapeur. La première difficulté, théorique mais bien réelle, est que cette unité ancienne appartient à un système d’unités fondé sur les forces, les longueurs et les temps. Alors que le système d’unités physiques légalement en vigueur aujourd’hui est fondé sur les masses, les longueurs et les temps. C’est ainsi que 1 CV est par définition la puissance mécanique nécessaire pour soulever verticalement un poids de 75 kg-force, en une seconde, sur une hauteur de 1 m.

L’expression de la valeur en Watts (l’unité de puissance légale aujourd’hui) de 1 CV est donc :

1 CV = (75 kg-masse) . (9,81 m/s2). (1 m). (1 s) = 736 W = 0,736 kW

 d’où l’équivalence:

 200 kW = (200/0,736) CV = 272 CV

 Maintenant, le lien entre puissance et vitesse maximale pouvant être obtenue sur un déplacement en ligne droite sans aucune déclivité. Voici une illustration des principes physiques à connaître pour établir ce lien :

 conservation_4

La relation de conservation de l’énergie ci-dessus montre que, si en première approximation on considère comme négligeables les forces de frottement exercées par la route, la force de traction à développer par le moteur doit exactement vaincre la résistance à l’avancement qu’oppose l’air environnant. Le sens physique de l’équation encadrée en bleu ci-dessus est le suivant. Tant qu’aucune force nette ne s’exerce sur le véhicule en mouvement, aucune modification de ce mouvement ne peut intervenir. La vitesse du mouvement demeure constante. En physique cela signifie une dérivée de la vitesse nulle, c’est-à-dire encore une accélération nulle. On voit le lien étroit entre force appliquée et accélération, qui constitue la relation fondamentale de la dynamique, proposée pour la première fois par Newton. Si par contre, le bilan ci-dessus fait apparaître une force nette appliquée dans la direction du mouvement, cela implique l’existence d’une accélération, et donc l’augmentation de la vitesse. Ce qui en réaction, entraîne une augmentation de la résistance à l’avancement, et donc une stabilisation de la vitesse obtenue.

La mécanique des fluides nous apprend que cette résistance à l’avancement d’un solide mobile dans un fluide peut être estimée en première approximation par une expression de la forme :

R = Cx .ρ . S . V2                                       (1)

 Dans laquelle :

ρ est la masse volumique de l’air, en kg/m3  

S la surface offerte à l’air (maître couple), en m2

V la vitesse de l’air, en m/s

Cx un coefficient caractéristique de la forme du solide.

Il est important de se rendre compte de la cohérence de cette expression du point de vue des dimensions physiques des différents termes :

R représente une force, c’est-à-dire une masse (dimension M) multipliée par une accélération (dimension LT-2), soit : M LT-2

Le second membre ρ . S . V2 doit donc présenter la même dimension, ce qui est bien le cas puisque :

(ML-3) L2 (L2 T-2) = M LT-2

Dans le second membre de la relation (1) précédente, introduisons les valeurs:

ρ = 1,2 kg/mpour l’air

S = 0,85 x Hauteur x Largeur = 0,85 x 1,80 x 1.25 = 1,9 m2

(Note 1:  le coefficient 0,85 est une correction empirique introduite par Paul Frère, un acteur bien connu du sport automobile)

V = 225 km/h = 62,5 m

Cx = 0,35

(Note 2 : Dans cet exposé qui se veut avant tout didactique, cette donnée non justifiée est le coefficient de traînée Cx des Formules E. En l’absence de donnée expérimentale, on s’est contenté de prendre la médiane de l’intervalle [0,2 – 0,5], la valeur basse 0,2 correspondant aux valeurs mesurées pour les meilleures automobiles de série, et la valeur haute de 0,5 une valeur plus ou moins correcte pour les Formule 1 qui ne sont pas très bonnes sur le plan aérodynamique pur.)

Il en résulte finalement qu l’on obtient l’estimation :

F = R = 3.115 N

 A partir de cette estimation de la résistance à l’avancement, on déduit alors aisément la puissance nécessaire, à l’aide de la relation :

P = F.V = 3115 x 62,5 = 195 kW

 Dans cette relation de la forme Force x Vitesse, on identifie bien une énergie (Force x Longueur) divisée par un temps, c’est-à-dire une puissance.

On constate donc une concordance très correcte entre les caractéristiques annoncées (225 km/h pour 200 kW) et le résultat théorique fourni par les calculs que nous venons d’expliquer. Ce qui m’incline une fois de plus à répéter qu’il faut s’attacher à tâcher de comprendre tout ce que l’on peut lire, et cela quel que soit le domaine.

 

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